归纳与演绎
归纳法
归纳法或归纳推理（Inductive reasoning），有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程。
它基于对特殊的代表（token）的有限观察，把性质或关系归结到类型；或基于对反复再现的现象的模式（pattern）的有限观察，公式表达规律。
例如，使用归纳法在如下特殊的命题中：
- 冰是冷的。
- 弹子球在击打球杆的时候移动。
推断出普遍的命题如：
- 所有冰都是冷的。
- 所有弹子球都在击打球杆的时候移动。
演绎法
演绎推理（Deductive Reasoning）、正向推理在传统的亚里士多德逻辑中是「结论，可从叫做‘前提’的已知事实，‘必然地’得出的推理」。如果前提为真，则结论必然为真。这区别于溯因推理和归纳推理：它们的前提可以预测出高概率的结论，但是不确保结论为真。
“演绎推理”还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推理，或「结论在确定性上，同前提一样」的推理。
例如： 任何三角形只可能是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。——大前提
这个三角形既不是锐角三角形，也不是钝角三角形。——小前提
所以，它是一个直角三角形。——结论
数学归纳法
数学归纳法（Mathematical Induction、MI、ID）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。
除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有的数学证明都是演绎法。
证明有关整数的断言对于 0 以上的所有整数（0、1、2、3……）是否成立。
假设现在要用数学归纳法来证明“断言 P(n) 对于 0 以上的所有整数 n 都成立”。
数学归纳法要经过以下两个步骤进行证明。
- 证明“P(0) 成立”。
- 证明不论 k 为 0 以上的哪个整数，“若 P(k) 成立，则 P(k+1) 也成立”。
在步骤 1 中，要证明当 k 为 0 时断言 P(0) 时成立。我们将步骤 1 称为基底（base）。
在步骤 2 中，要证明无论 k 为 0 以上的哪个整数，“若 P(k) 成立，则 P(k+1) 也成立”。我们将步骤 2 称作归纳（induction）。该步骤证明断言若对于 0 以上的某个整数成立，则对于下一个整数也成立。
若步骤 1 和步骤 2 都能得到证明，就证明了“断言 P(n) 对于 0 以上的所有整数 n 都成立”。
以上就是数学归纳法的证明方法。
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